phương tất cả các cạnh của hình hộp đó. Câu 38 trang 68 SGK Hình học 11 Nâng cao – Bài 4: Hai mặt phẳng song song
Chứng minh rẳng tổng bình phương tất cả các đường chéo của một hình hộp bằng tổng bình
phương tất cả các cạnh của hình hộp đó
Áp dụng tính chất: “ Trong một hình bình hành, tổng bình phương hai đường chéo bằng tổng bình phương bốn cạnh.”
Đặt AB = a, BC = b, AA’ = c ( đó là 3 kích thước của hình hộp).
Trong hình bình hành ABC’D’ ta có:
\(AC'{^2} + BD{‘^2} = 2\left( {{a^2} + BC'{^2}} \right)\) (1)
Advertisements (Quảng cáo)
Trong hình bình hành A’B’CD ta có:
\(A'{C^2} + B'{D^2} = 2\left( {{a^2} + B'{C^2}} \right)\) (2)
Cộng (1) và (2) ta được :
\(AC'{^2} + BD'{^2}+A'{C^2} + B'{D^2} = 2\left( {2{a^2} + BC{‘^2} + B'{C^2}} \right)\) (3)
Mặt khác trong hình bình hành BB’C’C ta có:
\(BC{‘^2} + B'{C^2} = 2\left( {{b^2} + {c^2}} \right)\) (4)
Thay (4) vào (3) ta được :
\(AC'{^2} + BD'{^2} + A'{C^2} + B\,'{D^2} = 4\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\) (đpcm).