Trang chủ Lớp 11 Toán lớp 11 Nâng cao (sách cũ) Câu 47 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng...

Câu 47 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Cho hàm số...

a. Cho hàm số . Câu 47 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao - Bài 5. Đạo hàm cấp cao

a. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \tan x.\) Tính \({f^{\left( n \right)}}\left( x \right)\) với n = 1, 2, 3.

b. Chứng minh rằng nếu \(f\left( x \right) = {\sin ^2}x\) thì \({f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) =  - {2^{4n - 1}}\cos 2x\)

a. 

\(\begin{array}{l}
f’\left( x \right) = 1 + {\tan ^2}x\\
f”\left( x \right) = 2\tan x .\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\\
{f^{\left( 3 \right)}}\left( x \right)=2{\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)^2} + 4{\tan ^2}x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)
\end{array}\)

b. \({f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) =  - {2^{4n - 1}}\cos 2x\)  (1)

Với n = 1 ta có: 

Advertisements (Quảng cáo)

\(\begin{array}{l}
f’\left( x \right) = \sin 2x\\
f”\left( x \right) = 2\cos 2x\\
{f^{\left( 3 \right)}}\left( x \right) = - 4\sin 2x\\
{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = - 8\cos 2x
\end{array}\)

Vậy (1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n = k tức là :  \({f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right) =  - {2^{4k - 1}}\cos 2x\)

Với n = k + 1 ta có : 

\(\begin{array}{l}
{f^{\left( {4k + 1} \right)}}\left( x \right) = \left( {{f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right)} \right)’ = {2^{4k}}\sin 2x\\
{f^{\left( {4k + 2} \right)}}\left( x \right) = {2^{4k + 1}}\cos 2x\\
{f^{\left( {4k + 3} \right)}}\left( x \right) = - {2^{4k + 2}}\sin 2x\\
{f^{\left( {4k + 4} \right)}}\left( x \right) = - {2^{4k + 3}}\cos 2x
\end{array}\)

Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với mọi n.

Bạn đang xem bài tập, chương trình học môn Toán lớp 11 Nâng cao (sách cũ). Vui lòng chọn môn học sách mới cần xem dưới đây:

Advertisements (Quảng cáo)