Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao Câu 5.34 trang 184 Sách Toán Đại số lớp 11 SBT Nâng...

Câu 5.34 trang 184 Sách Toán Đại số lớp 11 SBT Nâng cao: Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây thỏa m,ãn hệ thức...

Chia sẻ
Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây thỏa m,ãn hệ thức tương ứng đã chỉ ra. Câu 5.34 trang 184 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao – Bài 5: Đạo hàm cấp cao

Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây thỏa m,ãn hệ thức tương ứng đã chỉ ra

a) \(y = {\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)^3};\left( {1 + {x^2}} \right)y” + xy’ – 9y = 0\)

b) \(y = 2\sin 2x;{y^{\left( {2n} \right)}} = {\left( { – 1} \right)^n}{2^{2n}}y\)

Giải

a) 

\(\eqalign{
& y’ = 3{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)^2}.\left[ {1 + {x \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right] \cr
& y” = 6\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right).\left[ {1 + {x \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right] \cr&+ 6\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right).\left[ {1 + {x \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right].{x \over {\sqrt {{x^2} + 1} }} \cr&+ 3{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)^2}.{1 \over {\left( {{x^2} + 1} \right).\sqrt {{x^2} + 1} }} \cr} \)

Do đó: \(\left( {1 + {x^2}} \right)y” + xy’ – 9y = 0\)

b) Ta có

\(\eqalign{& y’ = 2\cos 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y” =  – {2^2}\sin 2x  \cr& y”’ =  – {2^3}\cos 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{y^{\left( 4 \right)}} = {2^4}\sin 2x  \cr& {y^{\left( 5 \right)}} = {2^5}\cos 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{y^{\left( 6 \right)}} =  – {2^6}\sin 2x  \cr& {y^{\left( 7 \right)}} =  – {2^7}\sin 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{y^{\left( 8 \right)}} = {2^8}\sin 2x  \cr& … \cr} \)

Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh được

                        \({y^{\left( {2n} \right)}} = {\left( { – 1} \right)^n}{2^{2n}}\sin 2x = {\left( { – 1} \right)^n}{2^{2n}}y\)


Loading...