Tính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra của các hàm số sau
a) \(y = x\sin 2x\,\,\,\,\,\left( {y”} \right)\)
b) \(y = {\cos ^2}x\,\,\,\,\,\,\left( {y”’} \right)\)
c) \(y = {x^4} - 3{x^3} + {x^2} - 1\,\,\,\,\,\,\left( {{y^{\left( n \right)}}} \right)\)
d) \(y = {1 \over {ax + b}}\) (a,b là các hằng số, \(a \ne 0,{y^{\left( n \right)}}\))
e) \(y=\sin x, \;{y^{\left( n \right)}}\))
g) \(y=\cos x, \;{y^{\left( n \right)}}\))
a) \(4\left( {\cos 2x - x\sin 2x} \right)\) b) \(4\sin 2x\)
Advertisements (Quảng cáo)
c) \(y’ = 4{x^3} - 9{x^2} + 2x;\,y” = 12{x^2} - 18x + 2;\)
\(y”’ = 24x - 18,{y^{\left( 4 \right)}} = 24,{y^{\left( n \right)}} = 0\,\,\,\,\left( {n \ge 5} \right).\)
d) \({{{{\left( { - 1} \right)}^n}n!.{a^n}} \over {{{\left( {ax + b} \right)}^{ n+ 1}}}}\)
e) ta có
\(\eqalign{& y’ = \cos x = \sin \left( {x + {\pi \over 2}} \right) \cr& y” = \cos \left( {x + {\pi \over 2}} \right) = \sin \left( {x + {{2\pi } \over 2}} \right) \cr& y”’ = \cos \left( {x + {{2\pi } \over 2}} \right) = \sin \left( {x + {{3\pi } \over 2}} \right) \cr} \)
Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh được
\({y^{\left( n \right)}} = {\left( {\sin x} \right)^{\left( n \right)}} = \sin \left( {x + {{n\pi } \over 2}} \right)\)
g) Chứng minh tương tự câu e), ta được
\({\left( {\cos x} \right)^{\left( n \right)}} = \cos \left( {x + {{n\pi } \over 2}} \right)\)