Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao Câu 5.32 trang 184 sách bài tập Đại số và Giải tích...

Câu 5.32 trang 184 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao: Tính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra của các hàm số...

Chia sẻ
Tính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra của các hàm số sau. Câu 5.32 trang 184 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao – Bài 5: Đạo hàm cấp cao

Tính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra của các hàm số sau

a) \(y = x\sin 2x\,\,\,\,\,\left( {y”} \right)\)                 

b) \(y = {\cos ^2}x\,\,\,\,\,\,\left( {y”’} \right)\)

c) \(y = {x^4} – 3{x^3} + {x^2} – 1\,\,\,\,\,\,\left( {{y^{\left( n \right)}}} \right)\)

d) \(y = {1 \over {ax + b}}\)  (a,b là các hằng số, \(a \ne 0,{y^{\left( n \right)}}\))

e) \(y=\sin x, \;{y^{\left( n \right)}}\)) 

g) \(y=\cos x, \;{y^{\left( n \right)}}\)) 

Giải

a) \(4\left( {\cos 2x – x\sin 2x} \right)\)                   b) \(4\sin 2x\)

c) \(y’ = 4{x^3} – 9{x^2} + 2x;\,y” = 12{x^2} – 18x + 2;\)

\(y”’ = 24x – 18,{y^{\left( 4 \right)}} = 24,{y^{\left( n \right)}} = 0\,\,\,\,\left( {n \ge 5} \right).\)

d) \({{{{\left( { – 1} \right)}^n}n!.{a^n}} \over {{{\left( {ax + b} \right)}^{ n+ 1}}}}\)

e) ta có

\(\eqalign{& y’ = \cos x = \sin \left( {x + {\pi  \over 2}} \right)  \cr& y” = \cos \left( {x + {\pi  \over 2}} \right) = \sin \left( {x + {{2\pi } \over 2}} \right)  \cr& y”’ = \cos \left( {x + {{2\pi } \over 2}} \right) = \sin \left( {x + {{3\pi } \over 2}} \right) \cr} \)

Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh được

            \({y^{\left( n \right)}} = {\left( {\sin x} \right)^{\left( n \right)}} = \sin \left( {x + {{n\pi } \over 2}} \right)\)

g) Chứng minh tương tự câu e), ta được

               \({\left( {\cos x} \right)^{\left( n \right)}} = \cos \left( {x + {{n\pi } \over 2}} \right)\)