Câu 5.32 trang 184 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao: Tính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra của các hàm số...

Tính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra của các hàm số sau

a) $y = x\sin 2x\,\,\,\,\,\left( {y”} \right)$                 

b) $y = {\cos ^2}x\,\,\,\,\,\,\left( {y”’} \right)$

c) $y = {x^4} - 3{x^3} + {x^2} - 1\,\,\,\,\,\,\left( {{y^{\left( n \right)}}} \right)$

d) $y = {1 \over {ax + b}}$  (a,b là các hằng số, $a \ne 0,{y^{\left( n \right)}}$)

e) $y=\sin x, \;{y^{\left( n \right)}}$) 

g) $y=\cos x, \;{y^{\left( n \right)}}$) 

a) $4\left( {\cos 2x - x\sin 2x} \right)$                   b) $4\sin 2x$

c) $y’ = 4{x^3} - 9{x^2} + 2x;\,y” = 12{x^2} - 18x + 2;$

$y”’ = 24x - 18,{y^{\left( 4 \right)}} = 24,{y^{\left( n \right)}} = 0\,\,\,\,\left( {n \ge 5} \right).$

d) ${{{{\left( { - 1} \right)}^n}n!.{a^n}} \over {{{\left( {ax + b} \right)}^{ n+ 1}}}}$

e) ta có

$\eqalign{& y’ = \cos x = \sin \left( {x + {\pi  \over 2}} \right)  \cr& y” = \cos \left( {x + {\pi  \over 2}} \right) = \sin \left( {x + {{2\pi } \over 2}} \right)  \cr& y”’ = \cos \left( {x + {{2\pi } \over 2}} \right) = \sin \left( {x + {{3\pi } \over 2}} \right) \cr}$

Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh được

            ${y^{\left( n \right)}} = {\left( {\sin x} \right)^{\left( n \right)}} = \sin \left( {x + {{n\pi } \over 2}} \right)$

g) Chứng minh tương tự câu e), ta được

               ${\left( {\cos x} \right)^{\left( n \right)}} = \cos \left( {x + {{n\pi } \over 2}} \right)$