Bài 3 trang 58 sgk đại số và giải tích 11: Bài 3. Nhị thức Niu - Tơn...

Bài 3. Biết hệ số của $x^2$ trong khai triển của $(1 - 3x)^n$ là $90$. Tìm $n$.

Với số thực $x ≠ 0$ và với mọi số tự nhiên $n ≥ 1$, ta có:

${(1 - 3x)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{.1}^{n - k}}.{{( - 3x)}^k} = }$

$\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{.1}^{n - k}}.{{( - 3)}^k}.{x^k}}$

Suy ra hệ số của $x^2$ trong khai triển này là ${(-3)^2}C_n^2$.Theo giả thiết, ta có:

${(-3)^2}C_n^2 = 90 \Rightarrow C_n^2 = 10$.

Từ đó ta có:

$\frac{n!}{2!(n - 2)!} = 10$$⇔ n(n - 1) = 20$.

$⇔ n^2 – n – 20 = 0 ⇔ n = -4$ (loại) hoặc $n = 5$ (thỏa mãn).