Bài 2 trang 58 đại số và giải tích 11: Bài 3. Nhị thức Niu - Tơn...

Bài 2. Tìm hệ số của $x^3$ trong khai triển của biểu thức: ${\left( {x + {2 \over {{x^2}}}} \right)^6}$.

${\left( {x + {2 \over {{x^2}}}} \right)^6} = \sum\limits_{k = 0}^{ 6} {C_6^k} .{x^{6 - k}}{\left( {{2 \over {{x^2}}}} \right)^k} = \sum\limits_{k = 0}^{ 6} {C_6^k} {.2^k}.{x^{6 - 3k}}$

Trong tổng này, số hạng $\sum\limits_{k = 0}^{ 6} {C_6^k} {.2^k}.{x^{6 - 3k}}$ có số mũ của $x$ bằng $3$ khi và chỉ khi

$\left\{\begin{matrix} 6 - 3k = 3& & \\ 0 \leq k \leq 6& & \end{matrix}\right.$$⇔ k = 1$.

Do đó hệ số của $x^3$ trong khai triển của biểu thức đã cho là:

$2C_6^1 = 2.6 = 12$