Bài 4 trang 58 sgk đại số và giải tích 11: Bài 3. Nhị thức Niu – Tơn. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
Bài 4. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của \({\left( {{x^3} + {1 \over x}} \right)^8}\)
Ta có: \({\left( {{x^3} +4 {1 \over x}} \right)^8} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} .{x^{3.(8 – k)}}{\left( {{1 \over x}} \right)^k} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} .{x^{24 – 4k}}\)
Trong tổng \(\sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} .{x^{24 – 4k}}\) số hạng không chứa \(x\) khi và chỉ khi
\(\left\{\begin{matrix} 24 – 4k = 0 & & \\ 0\leq k \leq 8& & \end{matrix}\right.\) \(⇔ k = 6\).
Vậy số hạng không chứa \(x\) trong khai triển (theo công thức nhị thức Niu – Tơn) của biểu thức đã cho là \({C^6}_8 = {\rm{ }}28\).