Bài 5 trang 133 sgk đại số 11: Bài 2. Giới hạn của hàm số....

Bài 5. Cho hàm số $f(x) = \frac{x+2}{x^{2}-9}$ có đồ thị như trên hình 53.

a) Quan sát đồ thị và nêu nhận xét về giá trị hàm số đã cho khi $x → -∞$, $x → 3^-$ và $x → -3^+$

b) Kiểm tra các nhận xét trên bằng cách tính các giới hạn sau:

$\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim} f(x)$ với $f(x)$ được xét trên khoảng $(-\infty; -3)$,

$\underset{x\rightarrow 3^{-}}{\lim} f(x)$ với $f(x)$ được xét trên khoảng $(-3,3)$,

$\underset{x\rightarrow -3^{+}}{lim} f(x)$ với $f(x)$ được xét trên khoảng $(-3; 3)$.

Hướng dẫn giải

a) Quan sát đồ thị ta thấy $x → -∞$ thì $f(x) → 0$; khi $x → 3^-$ thì $f(x) → -∞$;

khi $x → -3^+$ thì $f(x)  → +∞$.

b) $\underset{x\rightarrow -\infty }{lim} f(x) = \underset{x\rightarrow -\infty }{lim}$ $\frac{x+2}{x^{2}-9}$ = $\underset{x\rightarrow -\infty }{lim}$ $\frac{\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}}{1-\frac{9}{x^{2}}} = 0$.

$\underset{x\rightarrow 3^{-}}{lim} f(x) = \underset{x\rightarrow 3^{-}}{lim}$$\frac{x+2}{x^{2}-9}$  =  $\underset{x\rightarrow 3^{-}}{lim}$$\frac{x+2}{x+3}.\frac{1}{x-3} = -∞$ vì  $\underset{x\rightarrow 3^{-}}{lim}$$\frac{x+2}{x+3}$ = $\frac{5}{6} > 0$ và $\underset{x\rightarrow 3^{-}}{\lim} \frac{1}{x-3} = -∞$.

$\underset{x\rightarrow -3^{+}}{lim} f(x) =$ $\underset{x\rightarrow -3^{+}}{lim}$ $\frac{x+2}{x^{2}-9}$ = $\underset{x\rightarrow -3^{+}}{lim}$ $\frac{x+2}{x-3}$ . $\frac{1}{x+3} = +∞$ 
vì  $\underset{x\rightarrow -3^{+}}{lim}$ $\frac{x+2}{x-3}$ = $\frac{-1}{-6}$ = $\frac{1}{6} > 0$ và $\underset{x\rightarrow -3^{+}}{lim}$ $\frac{1}{x+3} = +∞$.