Trang chủ Lớp 11 Toán lớp 11 Câu hỏi 1 trang 123 SGK Đại số và Giải tích 11:...

Câu hỏi 1 trang 123 SGK Đại số và Giải tích 11: Xét hàm số:...

Câu hỏi 1 trang 123 SGK Đại số và Giải tích 11. \(\displaystyle f(x) = {{2{x^2} – 2x} \over {x – 1}}\). Bài 2. Giới hạn của hàm số

Xét hàm số:

\(\displaystyle f(x) = {{2{x^2} – 2x} \over {x – 1}}\)

1. Cho biến x những giá trị khác 1 lập thành dãy số xn, xn → 1 như trong bảng sau:

Khi đó, các giá trị tương ứng của hàm số

f(x1), f(x2),…, f(xn), …

cũng lập thành một dãy số mà ta kí hiệu là (f(xn)).

a) Chứng minh rằng \(f\left( {{x_n}} \right) = 2{x_n} = \dfrac{{2n + 2}}{n}\)

Quảng cáo

b) Tìm giới hạn của dãy số (f(xn)).

2. Chứng minh rằng với dãy số bất kì xn, xn ≠ 1 và xn → 1, ta luôn có f(xn) → 2.

(Với tính chất thể hiện trong câu 2, ta nói hàm số \(\displaystyle f(x) = {{2{x^2} – 2x} \over {x – 1}}\) có giới hạn là 2 khi x dần tới 1).

1. a) Tính và rút gọn \(f\left( {{x_n}} \right)\) suy ra đáp số, chú ý \(x_n=\dfrac{{n + 1}}{n}\).

b) Xét giới hạn \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (f({x_n}) – 2)\) và suy ra đáp số.

2. Tính \(\lim f({x_n})\) dựa vào công thức có được ở phần 1a.

1. a) \(\displaystyle f({x_n}) = {{2{x_n}^2 – 2{x_n}} \over {{x_n} – 1}} = {{2{x_n}({x_n} – 1)} \over {{x_n} – 1}} \) \(= 2{x_n}\)

\(\displaystyle {x_n} = {{n+1} \over {n}} \) \(\displaystyle \Rightarrow f({x_n}) = 2{x_n} = 2.{{n+1} \over {n}} = {{2n+2} \over {n}}\)

b) \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (f({x_n}) – 2) \) \(\displaystyle = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({{2n+2} \over {n}} – 2) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {{ 2} \over {n}}\)

Ta có: \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {{ 2} \over {n}} = 0 \) \(\displaystyle \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (f({x_n}) – 2) = 0 \) \(\displaystyle \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f({x_n}) = 2\)

2. \(\lim f({x_n}) = \lim\,2{x_n} \) \(= 2\lim {x_n} = 2.1 = 2\)

Quảng cáo

Mục lục môn Toán 11