Xét hàm số:
\(\displaystyle f(x) = {{2{x^2} - 2x} \over {x - 1}}\)
1. Cho biến x những giá trị khác 1 lập thành dãy số xn, xn → 1 như trong bảng sau:
Khi đó, các giá trị tương ứng của hàm số
f(x1), f(x2),…, f(xn), …
cũng lập thành một dãy số mà ta kí hiệu là (f(xn)).
a) Chứng minh rằng \(f\left( {{x_n}} \right) = 2{x_n} = \dfrac{{2n + 2}}{n}\)
b) Tìm giới hạn của dãy số (f(xn)).
2. Chứng minh rằng với dãy số bất kì xn, xn ≠ 1 và xn → 1, ta luôn có f(xn) → 2.
(Với tính chất thể hiện trong câu 2, ta nói hàm số \(\displaystyle f(x) = {{2{x^2} - 2x} \over {x - 1}}\) có giới hạn là 2 khi x dần tới 1).
Advertisements (Quảng cáo)
1. a) Tính và rút gọn \(f\left( {{x_n}} \right)\) suy ra đáp số, chú ý \(x_n=\dfrac{{n + 1}}{n}\).
b) Xét giới hạn \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (f({x_n}) - 2)\) và suy ra đáp số.
2. Tính \(\lim f({x_n})\) dựa vào công thức có được ở phần 1a.
1. a) \(\displaystyle f({x_n}) = {{2{x_n}^2 - 2{x_n}} \over {{x_n} - 1}} = {{2{x_n}({x_n} - 1)} \over {{x_n} - 1}} \) \(= 2{x_n}\)
\(\displaystyle {x_n} = {{n+1} \over {n}} \) \(\displaystyle \Rightarrow f({x_n}) = 2{x_n} = 2.{{n+1} \over {n}} = {{2n+2} \over {n}}\)
b) \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (f({x_n}) - 2) \) \(\displaystyle = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({{2n+2} \over {n}} - 2) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {{ 2} \over {n}}\)
Ta có: \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {{ 2} \over {n}} = 0 \) \(\displaystyle \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (f({x_n}) - 2) = 0 \) \(\displaystyle \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f({x_n}) = 2\)
2. \(\lim f({x_n}) = \lim\,2{x_n} \) \(= 2\lim {x_n} = 2.1 = 2\)