Câu hỏi 1 trang 123 SGK Đại số và Giải tích 11: Xét hàm số:...

Xét hàm số:

$\displaystyle f(x) = {{2{x^2} - 2x} \over {x - 1}}$

1. Cho biến x những giá trị khác 1 lập thành dãy số x_n, x_n → 1 như trong bảng sau:

Khi đó, các giá trị tương ứng của hàm số

f(x₁), f(x₂),…, f(x_n), …

cũng lập thành một dãy số mà ta kí hiệu là (f(x_n)).

a) Chứng minh rằng $f\left( {{x_n}} \right) = 2{x_n} = \dfrac{{2n + 2}}{n}$

b) Tìm giới hạn của dãy số (f(x_n)).

2. Chứng minh rằng với dãy số bất kì x_n, x_n ≠ 1 và x_n → 1, ta luôn có f(x_n) → 2.

(Với tính chất thể hiện trong câu 2, ta nói hàm số $\displaystyle f(x) = {{2{x^2} - 2x} \over {x - 1}}$ có giới hạn là 2 khi x dần tới 1).

1. a) Tính và rút gọn $f\left( {{x_n}} \right)$ suy ra đáp số, chú ý $x_n=\dfrac{{n + 1}}{n}$.

b) Xét giới hạn $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (f({x_n}) - 2)$ và suy ra đáp số.

2. Tính $\lim f({x_n})$ dựa vào công thức có được ở phần 1a.

1. a) $\displaystyle f({x_n}) = {{2{x_n}^2 - 2{x_n}} \over {{x_n} - 1}} = {{2{x_n}({x_n} - 1)} \over {{x_n} - 1}}$ $= 2{x_n}$

$\displaystyle {x_n} = {{n+1} \over {n}}$ $\displaystyle \Rightarrow f({x_n}) = 2{x_n} = 2.{{n+1} \over {n}} = {{2n+2} \over {n}}$

b) $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (f({x_n}) - 2)$ $\displaystyle = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({{2n+2} \over {n}} - 2) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {{ 2} \over {n}}$

Ta có: $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {{ 2} \over {n}} = 0$ $\displaystyle \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (f({x_n}) - 2) = 0$ $\displaystyle \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f({x_n}) = 2$

2. $\lim f({x_n}) = \lim\,2{x_n}$ $= 2\lim {x_n} = 2.1 = 2$