Bài 21 trang 14 SBT toán 12 - Cánh diều: Dùng đạo hàm của hàm số, hãy giải thích...

Dùng đạo hàm của hàm số, hãy giải thích:

a) Hàm số $y = {a^x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi $a > 1$, nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi $0 < a < 1$.

b) Hàm số $y = {\log _a}x$ đồng biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$ khi $a > 1$, nghịch biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$ khi $0 < a < 1$.

Nếu $f’\left( x \right) \ge 0$ (hoặc $f’\left( x \right) \le 0$) với mọi $x$ thuộc $K$ và $f’\left( x \right) = 0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm của $K$ thì hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến (hoặc nghịch biến) trên $K$.

a) Hàm số $y = {a^x}$ có tập xác định là $\mathbb{R}$.

Ta có: ${y^\prime } = {a^x}.\ln a$

+ Khi $a > 1 \Leftrightarrow \ln a > 0 \Leftrightarrow {a^x}.\ln a > 0 \Leftrightarrow y’ > 0,\forall x \in \mathbb{R}$.

Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

+ Khi $0 < a < 1 \Leftrightarrow \ln a < 0 \Leftrightarrow {a^x}.\ln a < 0 \Leftrightarrow y' < 0,\forall x \in \mathbb{R}$.

Vậy hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

b) Hàm số $y = {\log _a}x$ có tập xác định là $\left( {0; + \infty } \right)$.

Ta có: ${y^\prime } = \frac{1}{{x.\ln a}}$

+ Khi $a > 1 \Leftrightarrow \ln a > 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{x.\ln a}} > 0 \Leftrightarrow y’ > 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)$.

Vậy hàm số đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

+ Khi $0 < a < 1 \Leftrightarrow \ln a < 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{x.\ln a}} < 0 \Leftrightarrow y' < 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)$.

Vậy hàm số nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$.