Câu hỏi/bài tập:
Chứng minh rằng:
a) Hàm số \(y = \sqrt {{x^2} - 4} \) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\).
b) Hàm số \(y = \ln \left( {{x^2} + 1} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
c) Hàm số \(y = {2^{ - {x^2} + 2x}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Các bước để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số \(f\left( x \right)\):
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số \(y = f\left( x \right)\).
Bước 2. Tính đạo hàm \(f’\left( x \right)\). Tìm các điểm \({x_i}\left( {i = 1,2,...,n} \right)\) mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
Bước 3. Sắp xếp các điểm \({x_i}\) theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
Bước 4. Căn cứ vào bảng biến thiên, nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
a) Hàm số có tập xác định là \(\left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).
Ta có: \({y^\prime } = \frac{{{{\left( {{x^2} - 4} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {{x^2} - 4} }} = \frac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} - 4} }} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}\)
Với \(x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} < 0 \Leftrightarrow y' < 0\). Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\).
Advertisements (Quảng cáo)
Với \(x \in \left( {2; + \infty } \right) \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} > 0 \Leftrightarrow y’ > 0\). Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\).
b) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Ta có:
\({y^\prime } = \frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^\prime }}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{2{\rm{x}}}}{{{x^2} + 1}}\)
\(y’ = 0\) khi \(x = 0\).
Bảng biến thiên của hàm số:
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
c) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Ta có:
\({y^\prime } = {\left( { - {x^2} + 2{\rm{x}}} \right)^\prime }{.2^{ - {x^2} + 2{\rm{x}}}}.\ln 2 = \left( { - 2{\rm{x}} + 2} \right){.2^{ - {x^2} + 2{\rm{x}}}}.\ln 2\)
\(y’ = 0\) khi \(x = 1\).
Bảng biến thiên của hàm số:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).