Bài 24 trang 14 SBT toán 12 - Cánh diều: Trong một thí nghiệm y học, người ta cấy 1 000 con vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng...

Trong một thí nghiệm y học, người ta cấy 1 000 con vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng. Bằng thực nghiệm, người ta xác định được số lượng vi khuẩn thay đổi theo thời gian bởi công thức:

$N\left( t \right) = 1000 + \frac{{100t}}{{100 + {t^2}}}$

trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây $\left( {t \ge 0} \right)$ (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014). Trong khoảng thời gian nào từ lúc nuôi cấy, số lượng vi khuẩn sẽ tăng lên?

Xét hàm số $N\left( t \right)$ trên nửa khoảng $\left[ {0; + \infty } \right)$, lập bảng biến thiên và tìm khoảng đồng biến của hàm số.

Xét hàm số $N\left( t \right) = 1000 + \frac{{100t}}{{100 + {t^2}}}$ trên nửa khoảng $\left[ {0; + \infty } \right)$.

Ta có:

$N’\left( t \right) = \frac{{{{\left( {100t} \right)}^\prime }\left( {100 + {t^2}} \right) - \left( {100t} \right){{\left( {100 + {t^2}} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {100 + {t^2}} \right)}^2}}} = \frac{{100\left( {100 + {t^2}} \right) - \left( {100t} \right).2t}}{{{{\left( {100 + {t^2}} \right)}^2}}} = \frac{{ - 100{t^2} + 10000}}{{{{\left( {100 + {t^2}} \right)}^2}}}$

$N’\left( t \right) = 0$ khi hoặc $t = 10$.

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0;10} \right)$.

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 giây đến 10 giây, số lượng vi khuẩn sẽ tăng lên.