Bài 32 trang 18 SBT toán 12 - Cánh diều: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + 1 + 1/x + 1 trên đoạn [ 1...

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x + 1 + \frac{1}{{x + 1}}$ trên đoạn $\left[ {1;2} \right]$ bằng:

A. 2.

B. $\frac{5}{2}$.

C. $\frac{{10}}{3}$.

D. ‒2.

Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$:

Bước 1. Tìm các điểm ${x_1},{x_2},...,{x_n}$ thuộc khoảng $\left( {a;b} \right)$ mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 2. Tính $f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right),f\left( a \right)$ và $f\left( b \right)$.

Bước 3. So sánh các giá trị tìm được ở Bước 2.

Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$, số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$.

Ta có: $y’ = 1 - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$

Khi đó, trên đoạn $\left[ {1;2} \right]$, $y’ = 0$ không có nghiệm.

$y\left( 1 \right) = \frac{5}{2};y\left( 2 \right) = \frac{{10}}{3}$.

Vậy $\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} y = \frac{5}{2}$ tại $x = 1$.

Chọn B.