Bài 33 trang 18 SBT toán 12 - Cánh diều: Giá trị lớn nhất của hàm số y = x + √ 2 cos x trên đoạn [ 0...

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = x + \sqrt 2 \cos x$ trên đoạn $\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]$ bằng:

A. $\sqrt 2$.

B. $\sqrt 3$.

C. $\frac{\pi }{4} + 1$.

D. $\frac{\pi }{2}$.

Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$:

Bước 1. Tìm các điểm ${x_1},{x_2},...,{x_n}$ thuộc khoảng $\left( {a;b} \right)$ mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 2. Tính $f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right),f\left( a \right)$ và $f\left( b \right)$.

Bước 3. So sánh các giá trị tìm được ở Bước 2.

Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$, số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$.

Ta có: $y’ = 1 - \sqrt 2 \sin x$

Khi đó, trên đoạn $\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]$, $y’ = 0$ khi $x = \frac{\pi }{4}$.

$y\left( 0 \right) = \sqrt 2 ;y\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\pi }{4} + 1;y\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2}$.

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]} y = \frac{\pi }{4} + 1$ tại $x = \frac{\pi }{4}$.

Chọn C.