Bài 39 trang 77 SBT Toán 12 - Cánh diều: Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án đúng (Đ) hoặc sai (S)...

Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án đúng (Đ) hoặc sai (S).Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho $A\left( {1;0;1} \right),B\left( {2;1;2} \right),C\left( {1; - 1;1} \right)$.a) Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng. b) Toạ độ điểm $D$ thoả mãn $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$ là $D\left( {0;2; - 1} \right)$. c) Độ dài $BC$ bằng 2. d) $\cos \widehat {BAC}$ bằng $- \frac{1}{{\sqrt 3 }}$.

‒ Sử dụng tính chất: Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng nếu hai vectơ $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC}$ cùng phương.

‒ Sử dụng tính chất hai vectơ bằng nhau: Với $\overrightarrow u = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)$ và $\overrightarrow v = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)$, ta có: $\overrightarrow u = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{y_1} = {y_2}\\{z_1} = {z_2}\end{array} \right.$.

‒ Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng $AB$:

$AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}}$.

‒ Sử dụng công thức tính góc của hai vectơ $\overrightarrow u = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)$ và $\overrightarrow v = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)$:

$\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{{x_1}.{x_2} + {y_1}.{y_2} + {z_1}.{z_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} .\sqrt {x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} }}$.

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {1;1;1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {0; - 1;0} \right),k\overrightarrow {AC} = \left( {0; - k;0} \right)$.

Suy ra $\overrightarrow {AB} \ne k\overrightarrow {AC} ,\forall k \in \mathbb{R}$.

Vậy ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng.

Vậy a) sai.

Giả sử $D\left( {{x_D};{y_D};{z_D}} \right)$.

$\overrightarrow {DC} = \left( {1 - {x_D}; - 1 - {y_D};1 - {z_D}} \right)$

$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 = 1 - {x_D}\\1 = - 1 - {y_D}\\1 = 1 - {z_D}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 0\\{y_D} = - 2\\{z_D} = 0\end{array} \right.$.

Vậy $D\left( {0; - 2;0} \right)$. Vậy b) sai.

$BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 2} \right)}^2}} = \sqrt 6$. Vậy c) sai.

$\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{1.0 + 1.\left( { - 1} \right) + 1.0}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} }} = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}$. Vậy d) đúng.

a) S

b) S

c) S

d) Đ