Bài 42 trang 77 SBT Toán 12 - Cánh diều: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A 1;0;1, B 2;1;2 và C 0; - 4;0...

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho $A\left( {1;0;1} \right),B\left( {2;1;2} \right)$ và $C\left( {0; - 4;0} \right)$.

a) Chứng minh rằng ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng.

b) Tìm toạ độ của điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

c) Tìm toạ độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.

d) Tính chu vi của tam giác $ABC$.

e) Tính $\cos \widehat {BAC}$.

‒ Sử dụng tính chất: Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng nếu hai vectơ $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC}$ cùng phương.

‒ Sử dụng tính chất hai vectơ bằng nhau: Với $\overrightarrow u = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)$ và $\overrightarrow v = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)$, ta có: $\overrightarrow u = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{y_1} = {y_2}\\{z_1} = {z_2}\end{array} \right.$.

‒ Sử dụng công thức toạ độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$:

$G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)$.

‒ Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng $AB$:

$AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}}$.

‒ Sử dụng công thức tính góc của hai vectơ $\overrightarrow u = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)$ và $\overrightarrow v = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)$:

$\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{{x_1}.{x_2} + {y_1}.{y_2} + {z_1}.{z_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} .\sqrt {x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} }}$.

a) Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {1;1;1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 1; - 4; - 1} \right),k\overrightarrow {AC} = \left( { - k; - 4k; - k} \right)$.

Suy ra $\overrightarrow {AB} \ne k\overrightarrow {AC} ,\forall k \in \mathbb{R}$.

Vậy ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng.

b) Giả sử $D\left( {{x_D};{y_D};{z_D}} \right)$.

$\overrightarrow {DC} = \left( {0 - {x_D};\left( { - 4} \right) - {y_D};0 - {z_D}} \right) = \left( { - {x_D}; - 4 - {y_D}; - {z_D}} \right)$.

Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$.

$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 = - {x_D}\\1 = - 4 - {y_D}\\1 = - {z_D}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = - 1\\{y_D} = - 5\\{z_D} = - 1\end{array} \right.$. Vậy $D\left( { - 1; - 5; - 1} \right)$.

c) $G\left( {\frac{{1 + 2 + 0}}{3};\frac{{0 + 1 + \left( { - 4} \right)}}{3};\frac{{1 + 2 + 0}}{3}} \right) \Leftrightarrow G\left( {1; - 1;1} \right)$.

d) Ta có:

$\begin{array}{l}AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt 3 ;\\AC = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = 3\sqrt 2 ;\\BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{{\left( {0 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 4 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 2} \right)}^2}} = \sqrt {33} .\end{array}$

Chu vi tam giác $ABC$là: $\sqrt 3 + 3\sqrt 2 + \sqrt {33}$.

e) Trong tam giác $ABC$, ta có:

$\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{1.\left( { - 1} \right) + 1.\left( { - 4} \right) + 1.\left( { - 1} \right)}}{{\sqrt 3 .3\sqrt 2 }} = - \frac{{\sqrt 6 }}{3}$.