Cho hình lập phương \(ABCD.A’B’C’D’\) có cạnh bằng \(a\). Tính:
a) \(\overrightarrow {A’B} .\overrightarrow {B’C’} \);
b) \(\overrightarrow {D’A} .\overrightarrow {BA’} \).
Sử dụng tích vô hướng của hai vectơ: \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\).
a) Ta có: \(B’C’ \bot \left( {ABB’A’} \right) \Rightarrow B’C’ \bot A’B\).
Advertisements (Quảng cáo)
\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {A’B} ,\overrightarrow {B’C’} } \right) = {90^ \circ } \Rightarrow \overrightarrow {A’B} .\overrightarrow {B’C’} = 0\)
b) Ta có:
\(\overrightarrow {D’A} .\overrightarrow {BA’} = - \overrightarrow {D’A} .\overrightarrow {A’B} = - \left| {\overrightarrow {D’A} } \right|.\left| {\overrightarrow {A’B} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {D’A} ,\overrightarrow {A’B} } \right) = - AD’.A’B.\cos \left( {\overrightarrow {D’A} ,\overrightarrow {A’B} } \right)\)
\(\overrightarrow {A’B} = \overrightarrow {D’C} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {D’A} ,\overrightarrow {A’B} } \right) = \left( {\overrightarrow {D’A} ,\overrightarrow {D’C} } \right) = \widehat {A{\rm{D}}’C}\).
Xét tam giác \(AC{\rm{D}}’\) có \(AC,AD’,CD’\) đều là các đường chéo của các hình vuông là các mặt của hình lập phương.
Do đó \(AC = AD’ = CD’\). Vậy tam giác \(AC{\rm{D}}’\) đều.
Suy ra \(\left( {\overrightarrow {D’A} ,\overrightarrow {A’B} } \right) = \widehat {A{\rm{D}}’C} = {60^ \circ }\).
\(\overrightarrow {D’A} .\overrightarrow {BA’} = - a.a.\cos {60^ \circ } = - \frac{{{a^2}}}{2}\).