Bài 45 trang 20 SBT toán 12 - Cánh diều: Nhóm bạn Đức dựng trên một khu đất bằng phẳng một chiếc lều từ một tấm bạt hình vuông có...

Nhóm bạn Đức dựng trên một khu đất bằng phẳng một chiếc lều từ một tấm bạt hình vuông có độ dài cạnh 4 m như Hình 9 với hai mép tấm bạt sát mặt đất. Tính khoảng cách $AB$ để khoảng không gian trong lều là lớn nhất.

Sử dụng công thức tính thể tích hình lăng trụ để tính thể tích $V\left( x \right)$ của không gian trong lều, sau đó tìm giá trị lớn nhất của hàm số $V\left( x \right)$.

Giả sử lều dựng lên được hình lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’$ với $AC = BC = 2,BB’ = 4,$$AB = x\left( {0 < x < 4} \right)$.

$AH = \frac{x}{2} \Rightarrow CH = \sqrt {A{C^2} - A{H^2}} = \sqrt {4 - \frac{{{x^2}}}{4}}$

${S_{\Delta ABC}} = AB.CH = x.\sqrt {4 - \frac{{{x^2}}}{4}}$

${V_{ABC.A’B’C’}} = {S_{\Delta ABC}}.BB’ = x.\sqrt {4 - \frac{{{x^2}}}{4}} .4 = 2x\sqrt {16 - {x^2}}$.

Xét hàm số $V\left( x \right) = 2x\sqrt {16 - {x^2}}$ trên khoảng $\left( {0;4} \right)$

Ta có: $y’ = {\left( {2x} \right)^\prime }\sqrt {16 - {x^2}} + 2x.{\left( {\sqrt {16 - {x^2}} } \right)^\prime } = 2\sqrt {16 - {x^2}} + 2x.\frac{{ - x}}{{\sqrt {16 - {x^2}} }} = \frac{{2\left( {8 - {x^2}} \right)}}{{\sqrt {16 - {x^2}} }}$

$y’ = 0$ khi $x = 2\sqrt 2$.

Bảng biến thiên của hàm số:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có: $\mathop {\max }\limits_{\left( {0;4} \right)} V\left( x \right) = 16$ tại ${\rm{x}} = 2\sqrt 2$.

Vậy $AB = 2\sqrt 2$ thì khoảng không gian trong lều là lớn nhất.