Bài 46 trang 20 SBT toán 12 - Cánh diều: Nồng độ C của một loại hoá chất trong máu sau t giờ tiêm vào cơ thể được cho bởi...

Nồng độ $C$ của một loại hoá chất trong máu sau $t$ giờ tiêm vào cơ thể được cho bởi công thức: $C\left( t \right) = \frac{{3t}}{{27 + {t^3}}}$ với $t \ge 0$ (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014).

Sau khoảng bao nhiêu giờ tiêm thì nồng độ của hoá chất trong máu là cao nhất?

Xét hàm số $C\left( t \right)$ trên nửa khoảng $\left[ {0; + \infty } \right)$, lập bảng biến thiên và tìm giá trị lớn nhất của hàm số.

Xét hàm số $C\left( t \right) = \frac{{3t}}{{27 + {t^3}}}$ trên nửa khoảng $\left[ {0; + \infty } \right)$.

Ta có:

$C’\left( t \right) = \frac{{{{\left( {3t} \right)}^\prime }.\left( {27 + {t^3}} \right) - \left( {3t} \right).{{\left( {27 + {t^3}} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {27 + {t^3}} \right)}^2}}} = \frac{{3\left( {27 + {t^3}} \right) - \left( {3t} \right).3{t^2}}}{{{{\left( {27 + {t^3}} \right)}^2}}} = \frac{{81 - 6{{\rm{x}}^3}}}{{{{\left( {27 + {t^3}} \right)}^2}}}$

$C’\left( t \right) = 0$ khi $t = \frac{{3\sqrt[3]{4}}}{2}$.

Bảng biến thiên của hàm số:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có: $\mathop {\max }\limits_{\left( {0;4} \right)} C\left( t \right) = \frac{{\sqrt[3]{4}}}{9}$ tại $t = \frac{{3\sqrt[3]{4}}}{2}$.

Vậy sau khoảng $t = \frac{{3\sqrt[3]{4}}}{2} \approx 2,38$ giờ thì nồng độ của hoá chất trong máu là cao nhất.