Bài 47 trang 20 SBT toán 12 - Cánh diều: Khối lượng riêng S kg/dm^3 của nước phụ thuộc vào nhiệt độ T ^ ° C được cho...

Khối lượng riêng $S\left( {kg/d{m^3}} \right)$ của nước phụ thuộc vào nhiệt độ $T\left( {^ \circ C} \right)$ được cho bởi công thức:

$S = \frac{{5,755}}{{{{10}^8}}}{T^3} - \frac{{8,521}}{{{{10}^6}}}{T^2} + \frac{{6,540}}{{{{10}^5}}}T + 0,99987$ với $0 < T \le 25$

(Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014).

a) Tính khối lượng riêng của nước ở nhiệt độ ${25^ \circ }C$.

b) Ở nhiệt độ nào thì khối lượng riêng của nước là lớn nhất?

Xét hàm số $S$ trên nửa khoảng $\left( {0;25} \right]$, lập bảng biến thiên và tìm giá trị lớn nhất của hàm số.

a) Với $T = 25$, ta có:

$S\left( {25} \right) = \frac{{5,755}}{{{{10}^8}}}{.25^3} - \frac{{8,521}}{{{{10}^6}}}{.25^2} + \frac{{6,540}}{{{{10}^5}}}.25 + 0,99987 \approx 0,99708\left( {kg/d{m^3}} \right)$

b) Xét hàm số $S = \frac{{5,755}}{{{{10}^8}}}{T^3} - \frac{{8,521}}{{{{10}^6}}}{T^2} + \frac{{6,540}}{{{{10}^5}}}T + 0,99987$ trên nửa khoảng $\left( {0;25} \right]$.

Ta có:

$S’ = \frac{{5,755}}{{{{10}^8}}}.3{T^2} - \frac{{8,521}}{{{{10}^6}}}.2T + \frac{{6,540}}{{{{10}^5}}} = \frac{{17,265}}{{{{10}^8}}}.{T^2} - \frac{{17,042}}{{{{10}^6}}}.T + \frac{{6,540}}{{{{10}^5}}}$

$S’ = 0$ khi $t \approx 4$.

Bảng biến thiên của hàm số:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có: $\mathop {\max }\limits_{\left( {0;25} \right]} S = 1$ tại $t = 4$.

Vậy ở nhiệt độ ${4^ \circ }C$ thì khối lượng riêng của nước là lớn nhất.