Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án đúng (Đ) hoặc sai (S).Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có độ dài tất cả các cạnh đều bằng \(a\) (Hình 10). a) Tứ giác \(ABCD\) là hình vuông. b) Tam giác \(SAC\) vuông cân tại \(S\). c) \(\left( {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {45^ \circ }\).d) \(\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {AC} = - {a^2}\).
‒ Sử dụng định lý Pitago.
‒ Sử dụng tích vô hướng của hai vectơ: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).
\(S.ABCD\) là chóp tứ giác đều nên tứ giác \(ABCD\) là hình vuông. Vậy a) đúng.
\(ABCD\) là hình vuông nên \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt 2 \).
Tam giác \(SAC\) có: \(S{A^2} + S{C^2} = 2{{\rm{a}}^2} = A{C^2}\).
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy tam giác \(SAC\) vuông cân tại \(S\). Vậy b) đúng.
\(\begin{array}{l}\cos \left( {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {SA} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{ - \overrightarrow {AS} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {SA} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{ - \left| {\overrightarrow {AS} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {AC} } \right)}}{{\left| {\overrightarrow {SA} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}\\ & = \frac{{ - a.a\sqrt 2 .\cos \widehat {SAC}}}{{a.a\sqrt 2 }} = \frac{{ - a.a\sqrt 2 .\cos {{45}^ \circ }}}{{a.a\sqrt 2 }} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array}\)
\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {135^ \circ }\). Vậy c) sai.
\(\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AS}.\overrightarrow{AC}=-\left| \overrightarrow{AS} \right|.\left| \overrightarrow{AC} \right|.\cos \left( \overrightarrow{AS},\overrightarrow{AC} \right)=-a.a\sqrt{2}.\cos \widehat{SAC}=-a.a\sqrt{2}.\cos {{45}^{\circ }}=-{{a}^{2}}\)
Vậy d) đúng.
a) Đ
b) Đ
c) S
d) Đ