Một công ty ước tính rằng chi phí \(C\) (USD) để sản xuất \(x\) đơn vị sản phẩm có thể được mô hình hóa bằng công thức
\(C = 800 + 0,04x + 0,0002{x^2}\).
Tìm mức sản xuất sao cho chi phí trung bình \(\overline C \left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x}\) cho mỗi đơn vị hàng hóa là nhỏ nhất.
+ Viết công thức \(\overline C \left( x \right)\).
+ Tìm \(x > 0\) để \(\overline C \left( x \right)\) nhỏ nhất.
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có \(\overline C \left( x \right) = \frac{{800 + 0,04x + 0,0002{x^2}}}{x} = \frac{{800}}{x} + 0,04 + 0,0002x\), \(x > 0\)
Chi phí trung bình nhỏ nhất khi \(\overline C \left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm \(x\) để \(\overline C \left( x \right)\) nhỏ nhất.
Ta có \(\overline {C’} \left( x \right) = \frac{{ - 800}}{{{x^2}}} + 0,0002 = \frac{{ - 800 + 0,0002{x^2}}}{{{x^2}}}\).
Khi đó \(\overline {C’} \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 800 + 0,0002{x^2}}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow - 800 + 0,0002{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 2000\) vì \(x > 0\).
Lập bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra \(\overline C \left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(x = 2000\).
Vậy với mức sản xuất \(2000\) thì chi phí trung bình cho mỗi đơn vị hàng hóa là nhỏ nhất.