Bài 4 trang 20 Toán 12 tập 1 - Cánh diều: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau...

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a) $f\left( x \right) = {x^3} - \frac{3}{2}{x^2}$ trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$

b) $f\left( x \right) = {x^4} - 2{x^3} + {x^2} + 1$ trên đoạn $\left[ { - 1;1} \right]$

c) $f\left( x \right) = {e^x}\left( {{x^2} - 5x + 7} \right)$ trên đoạn $\left[ {0;3} \right]$\

d) $f\left( x \right) = \cos 2x + 2x + 1$ trên đoạn $\left[ {\frac{{ - \pi }}{2};\pi } \right]$

B1: Tìm các điểm ${x_1},{x_2},...,{x_n}$ thuộc khoảng $\left( {a;b} \right)$ mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

B2: Tính $f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right),f\left( a \right),f\left( b \right)$

B3: So sánh các giá trị tìm được ở bước 2 và kết luận

a) Ta có: $f’\left( x \right) = 3{x^2} - 3x$.

Nhận xét $f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.$.

Ta có $f\left( { - 1} \right) = - \frac{5}{2};f\left( 0 \right) = 0;f\left( 1 \right) = - \frac{1}{2};f\left( 2 \right) = 2$

Vậy hàm số $f\left( x \right) = {x^3} - \frac{3}{2}{x^2}$ có giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{{ - 5}}{2}$ khi $x = - 1$ và có giá trị lớn nhất bằng $2$ khi $x = 2$ .

b) Ta có: $f’\left( x \right) = 4{x^3} - 6{x^2} + 2x$.

Nhận xét $f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.$.

Ta có $f\left( { - 1} \right) = 5;f\left( 0 \right) = 1;f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{17}}{{16}};f\left( 1 \right) = 1$

Vậy hàm số $f\left( x \right) = {x^4} - 2{x^3} + {x^2} + 1$ có giá trị nhỏ nhất bằng $1$ khi $\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 0\end{array} \right.$ và có giá trị lớn nhất bằng $5$ khi $x = - 1$ .

c) Ta có: $f’\left( x \right) = {e^x}\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)$.

Nhận xét $f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 1\end{array} \right.$.

Ta có $f\left( 2 \right) = {e^2};f\left( 0 \right) = 7;f\left( 3 \right) = {e^3};f\left( 1 \right) = 3e$

Vậy hàm số $f\left( x \right) = {e^x}\left( {{x^2} - 5x + 7} \right)$ có giá trị nhỏ nhất bằng $7$ khi $x = 0$ và có giá trị lớn nhất bằng ${e^3}$ khi $x = 3$.

d) Ta có: $f’\left( x \right) = - 2\sin 2x + 2$.

Nhận xét $f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4}$.

Ta có $f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = - \pi ;f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 1 + \frac{\pi }{2};f\left( \pi \right) = 2 + 2\pi$

Vậy hàm số $f\left( x \right) = \cos 2x + 2x + 1$ có giá trị nhỏ nhất bằng $- \pi$ khi $x = - \frac{\pi }{2}$ và có giá trị lớn nhất bằng $2 + 2\pi$ khi $x = \pi$