Tìm các đường TCN và TCĐ của mỗi hàm số sau:
A. \(y = \frac{{5x + 1}}{{3x - 2}}\)
B. \(y = \frac{{2{x^3} - 3x}}{{{x^3} + 1}}\)
C. \(y = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}\)
Tìm TXD
Phân tích hàm số
Tìm TCD, TCN
A. \(y = \frac{{5x + 1}}{{3x - 2}}\)
Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{2}{3}} \right\}\)
Đặt mẫu: \(3x - 2 = 0\) → \(x = \frac{2}{3}\)
Vậy hàm số có TCĐ là: \(x = \frac{2}{3}\)
Ta có:
\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{5x + 1}}{{3x - 2}} = \frac{5}{3}\)
Vậy, hàm số có TCN là: \(y = \frac{5}{3}\)
B. \(y = \frac{{2{x^3} - 3x}}{{{x^3} + 1}}\)
TXĐ: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)
Đặt mẫu \({x^3} + 1 = 0\) → \(x = - 1\)
Vậy hàm số có TCĐ là: \(x = - 1\)
Ta có:
\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2{x^3} - 3x}}{{{x^3} + 1}} = 2\)
Vậy hàm số có TCN là: \(y = 2\)
C. \(y = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}\)
TXĐ: \(x \in \left[ { - \infty , - 2} \right] \cup \left[ {2, + \infty } \right]\)
Đặt mẫu \(\sqrt {{x^2} - 4} = 0\) → \(x = - 2;\;x = 2\)
Vậy hàm số có TCĐ là: \(x = - 2;\;x = 2\)
Ta có
\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = 1\)
\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - \infty } \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = - 1\)
Vậy hàm số có TCN là: \(y = 1;\;y = - 1\)