Bài tập 15 trang 29 Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo: Cho $f\left( x \right) = {x^2}\ln x$ và $g\left( x \right) = x\ln x$...

Cho $f\left( x \right) = {x^2}\ln x$ và $g\left( x \right) = x\ln x$. Tính $f’\left( x \right)$ và $\int {g\left( x \right)dx}$.

Sử dụng các công thức tính đạo hàm và nguyên hàm để tính $f’\left( x \right)$. Từ đó, viết biểu thức $g\left( x \right) = x\ln x$ theo $f’\left( x \right)$ và tính $\int {g\left( x \right)dx}$

Ta có $f’\left( x \right) = \left( {{x^2}\ln x} \right)’ = 2x\ln x + {x^2}.\frac{1}{x} = 2x\ln x + x = 2g\left( x \right) + x$

Suy ra $g\left( x \right) = \frac{1}{2}\left[ {f’\left( x \right) - x} \right] \Rightarrow \int {g\left( x \right)dx} = \frac{1}{2}\int {\left[ {f’\left( x \right) - x} \right]dx} = \frac{1}{2}\left[ {f\left( x \right) - \frac{{{x^2}}}{2}} \right] + C$, tức là $\int {x\ln xdx} = \frac{1}{2}\left( {{x^2}\ln x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right) + C$