Bài tập 2 trang 27 Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = {x^3} - x$...

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = {x^3} - x$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 2$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ là $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = {x^3} - x$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 2$ là: $S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{x^3} - x} \right|dx}$

Ta có ${x^3} - x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \pm 1$.

Do đó,

$S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{x^3} - x} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {{x^3} - x} \right|dx} + \int\limits_0^1 {\left| {{x^3} - x} \right|dx} = \left| {\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^3} - x} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - x} \right)dx} } \right|$

$= \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_{ - 1}^0} \right| + \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1} \right| = \left| {\frac{1}{2}} \right| + \left| { - \frac{1}{2}} \right| = 1$