Câu hỏi/bài tập:
Tìm
a) \(\int {\left( {2{x^5} + 3} \right)dx} \)
b) \(\int {\left( {5\cos x - 3\sin x} \right)dx} \)
c) \(\int {\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} - \frac{2}{x}} \right)dx} \)
d) \(\int {\left( {{e^{x - 2}} - \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} \)
Advertisements (Quảng cáo)
Sử dụng tính chất nguyên hàm của tổng, hiệu hai hàm số, nguyên hàm của tích một số với một hàm số để đưa về tính nguyên hàm của các hàm số sơ cấp.
a) \(\int {\left( {2{x^5} + 3} \right)dx} = 2\int {{x^5}dx} + 3\int {dx} = 2\frac{{{x^6}}}{6} + 3x + C = \frac{{{x^6}}}{3} + 3x + C\)
b) \(\int {\left( {5\cos x - 3\sin x} \right)dx} = 5\int {\cos xdx} - 3\int {\sin xdx} = 5\sin x - 3\left( { - \cos x} \right) + C\)
\( = 5\sin x + 3\cos x + C\)
c) \(\int {\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} - \frac{2}{x}} \right)dx} = \frac{1}{2}\int {{x^{\frac{1}{2}}}dx} - 2\int {\frac{1}{x}dx} = \frac{1}{2}.\frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} - 2\ln \left| x \right| + C = \frac{1}{3}\sqrt {{x^3}} - 2\ln \left| x \right| + C\)
d) \(\int {\left( {{e^{x - 2}} - \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} = {e^{ - 2}}\int {{e^x}dx} - 2\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = {e^{ - 2}}.{e^x} - 2\left( { - \cot x} \right) + C} \) \( = {e^{x - 2}} + 2\cot x + C\)