Bài tập 3 trang 11 Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo: Tìm nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$ thoả mãn \(F\left( {\frac{\pi }{2}}...

Tìm nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$ thoả mãn $F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1$.

Sử dụng công thức $\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = - \cot x + C}$ để tìm $F\left( x \right)$, sau đó dùng điều kiện $F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1$ để xác định hằng số $C$.

Ta có $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} = - \cot x + C$,

Do $F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1$ nên $- \cot \left( {\frac{\pi }{2}} \right) + C = 1 \Rightarrow 0 + C = 1 \Rightarrow C = 1$.

Vậy $F\left( x \right) = - \cot x + 1$ là hàm số cần tìm.