Bài tập 6 trang 12 Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo: Kí hiệu $h\left( x \right)$ là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng $x$ năm...

Kí hiệu $h\left( x \right)$ là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng $x$ năm. Biết rằng sau năm đầu tiên cây cao 2 m. Trong 10 năm tiếp theo, cây phát triểun với tốc độ $h’\left( x \right) = \frac{1}{x}$ (m/năm).

a) Xác định chiều cao của cây sau $x$ năm $\left( {1 \le x \le 11} \right)$.

b) Sau bao nhiêu năm cây cao 3 m?

a) Chiều cao của cây sau $x$ năm là $h\left( x \right) = \int {h’\left( x \right)dx}$. Chúng ta nguyên hàm hàm số $h’\left( x \right)$ để tìm $h\left( x \right)$, sau đó sử dụng dữ kiện “sau năm đầu tiên cây cao 2 m” để tìm hằng số $C$.

b) Để xác định sau bao nhiêu năm cây cao 3 m, ta giải phương trình $h\left( x \right) = 3$.

a) Chiều cao của cây sau $x$ năm là

$h\left( x \right) = \int {h’\left( x \right)dx} = \int {\frac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right| + C = \ln x + C$ (do $1 \le x \le 11$).

Sau năm đầu tiên, cây cao 2 m, do đó ta có $h\left( 1 \right) = 2$.

Suy ra $\ln 1 + C = 2 \Rightarrow 0 + C = 2 \Rightarrow C = 2$.

Vậy chiều cao của cây sau $x$ năm là $h\left( x \right) = \ln x + 2$ (m).

b) Để xác định sau bao nhiêu năm cây cao 3 m, ta giải phương trình $h\left( x \right) = 3$.

Ta có $h\left( x \right) = 3 \Rightarrow \ln x + 2 = 3 \Rightarrow \ln x = 1 \Rightarrow x = e \approx 2,72$.

Vậy sau khoảng $2,72$ năm thì cây cao 3 m.