Câu hỏi Khám phá 4 trang 17 Toán 12 Chân trời sáng tạo: Có nhận xét gì về hai kết quả trên?...

a) Tìm một nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right) = {x^2} + {e^x}$. Từ đó, tính $\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + {e^x}} \right)dx}$.

b) Tính $\int\limits_0^1 {{x^2}dx} + \int\limits_0^1 {{e^x}dx}$

c) Có nhận xét gì về hai kết quả trên?

a) Tìm nguyên hàm $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx}$, sau đó sử dụng công thức tính tích phân $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)$.

b) Sử dụng công thức tính tích phân $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)$.

c) So sánh kết quả hai câu trên và rút ra kết luận.

a) Ta có $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{x^2} + {e^x}} \right)dx} = \int {{x^2}dx} + \int {{e^x}dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + {e^x} + C$

Chọn $F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + {e^x}$.

Suy ra $\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + {e^x}} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + {e^x}} \right)} \right|_0^1 = \left( {\frac{{{1^3}}}{3} + {e^1}} \right) - \left( {\frac{{{0^3}}}{3} + {e^0}} \right) = e - \frac{2}{3}$

b) Ta có $\int\limits_0^1 {{x^2}dx} + \int\limits_0^1 {{e^x}dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {{e^x}} \right)} \right|_0^1 = \left( {\frac{{{1^3}}}{3} - \frac{{{0^3}}}{3}} \right) + \left( {{e^1} - {e^0}} \right) = e - \frac{2}{3}$

c) Dựa vào câu a và b, ta suy ra $\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + {e^x}} \right)dx} = \int\limits_0^1 {{x^2}dx} + \int\limits_0^1 {{e^x}dx}$.