Câu hỏi/bài tập:
a) Tìm một nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + {e^x}\). Từ đó, tính \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + {e^x}} \right)dx} \).
b) Tính \(\int\limits_0^1 {{x^2}dx} + \int\limits_0^1 {{e^x}dx} \)
c) Có nhận xét gì về hai kết quả trên?
a) Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} \), sau đó sử dụng công thức tính tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\).
b) Sử dụng công thức tính tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\).
Advertisements (Quảng cáo)
c) So sánh kết quả hai câu trên và rút ra kết luận.
a) Ta có \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{x^2} + {e^x}} \right)dx} = \int {{x^2}dx} + \int {{e^x}dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + {e^x} + C\)
Chọn \(F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + {e^x}\).
Suy ra \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + {e^x}} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + {e^x}} \right)} \right|_0^1 = \left( {\frac{{{1^3}}}{3} + {e^1}} \right) - \left( {\frac{{{0^3}}}{3} + {e^0}} \right) = e - \frac{2}{3}\)
b) Ta có \(\int\limits_0^1 {{x^2}dx} + \int\limits_0^1 {{e^x}dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {{e^x}} \right)} \right|_0^1 = \left( {\frac{{{1^3}}}{3} - \frac{{{0^3}}}{3}} \right) + \left( {{e^1} - {e^0}} \right) = e - \frac{2}{3}\)
c) Dựa vào câu a và b, ta suy ra \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + {e^x}} \right)dx} = \int\limits_0^1 {{x^2}dx} + \int\limits_0^1 {{e^x}dx} \).