Câu hỏi Vận dụng 2 trang 27 Toán 12 Chân trời sáng tạo: Sử dụng tích phân, tính thể tích khối nón có bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$...

Sử dụng tích phân, tính thể tích khối nón có bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$. (hình 16)

Chọn trục $Ox$ và $Oy$ như hình vẽ.

Khi quay hình phẳng $D$ giới hạn bởi tam giác $OAH$ quanh trục $Ox$, ta sẽ được một khối nón có bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$.

Hình phẳng $D$ được giới hạn bởi đường thẳng $OA$ có phương trình $y = f\left( x \right) = ax + b$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$, $x = h$.

Thể tích của khối nón là $V = \pi \int\limits_0^h {{f^2}\left( x \right)dx}$

Chọn trục $Ox$ và $Oy$ như hình vẽ.

Khi quay hình phẳng $D$ giới hạn bởi tam giác $OAH$ quanh trục $Ox$, ta sẽ được một khối nón có bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$.

Hình phẳng $D$ được giới hạn bởi đường thẳng $OA$ có phương trình $y = f\left( x \right) = ax + b$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$, $x = h$.

Đường thẳng $OA$ đi qua điểm $O\left( {0;0} \right)$ và $A\left( {h;r} \right)$ nên phương trình đường thẳng $OA$ là $y = \frac{r}{h}x$.

Thể tích khối nón là:

$V = \pi \int\limits_0^h {{{\left( {\frac{r}{h}x} \right)}^2}dx} = \pi \frac{{{r^2}}}{{{h^2}}}\int\limits_0^h {{x^2}dx} = \frac{{\pi {r^2}}}{{{h^2}}}.\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^h = \frac{{\pi {r^2}}}{{{h^2}}}.\frac{{{h^3}}}{3} = \frac{{\pi {r^2}h}}{3}$