Bài tập 11 trang 91 Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d: \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 3\\z = - 1 + 2t\end{array}...

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 3\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x - y - 2z + 1 = 0$. Cosin của góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là

A. $\frac{{2\sqrt 5 }}{5}$.

B. $\frac{{\sqrt 5 }}{5}$.

C. $\frac{{2\sqrt 3 }}{5}$.

D. $\frac{{\sqrt 3 }}{5}$.

Sử dụng kiến thức về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)$. và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)$. Khi đó: $\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {aA + bB + cC} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( { - 1;0;2} \right)$, mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {2; - 1; - 2} \right)$. Ta có: $\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).2 + 0.\left( { - 1} \right) + 2.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{6}{{3\sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}$

Do đó, $\cos \left( {d,\left( P \right)} \right) = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{2\sqrt 5 }}{5}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}$

Chọn B