Bài tập 2 trang 90 Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Giá trị lớn nhất M của hàm số $y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}$ trên đoạn [2...

Giá trị lớn nhất M của hàm số $y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}$ trên đoạn [2; 4] là

A. $M = 6$.

B. $M = 7$.

C. $M = \frac{{19}}{3}$.

D. $M = \frac{{20}}{3}$.

Sử dụng kiến thức về cách tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên một đoạn để tính: Giả sử $y = f\left( x \right)$ là hàm số liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$ và có đạo hàm trên (a; b), có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn $\left[ {a;b} \right]$ mà đạo hàm $f’\left( x \right) = 0$.

Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$:

1. Tìm các điểm ${x_1},{x_2},...{x_n} \in \left( {a;b} \right)$, tại đó $f’\left( x \right) = 0$ hoặc không tồn tại.

2. Tính $f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);...;f\left( {{x_n}} \right)$, f(a) và f(b).

3. Tìm số lớn nhất M trong các số trên. Ta có: $M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)$

Ta có: $y’ = \frac{{\left( {{x^2} + 3} \right)’\left( {x - 1} \right) - {x^2} - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{2x\left( {x - 1} \right) - {x^2} - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$

$y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\left( {TM} \right)\\x = - 1\left( {KTM} \right)\end{array} \right.$

Ta có: $y\left( 2 \right) = 7,y\left( 4 \right) = \frac{{19}}{3},y\left( 3 \right) = 6$. Do đó, $M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {2;4} \right]} y = y\left( 2 \right) = 7$

Chọn B.