Bài tập 4.6 trang 11 Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị là (C). Xét điểm \(M\left( {x...

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị là (C). Xét điểm $M\left( {x;f\left( x \right)} \right)$ thay đổi trên (C). Biết rằng, hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M là ${k_M} = {\left( {x - 1} \right)^2}$ và điểm M trùng với gốc tọa độ khi nó nằm trên trục tung. Tìm biểu thức f(x).

Sử dụng kiến thức về hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị để tính: Đạo hàm của hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm ${x_0}$ là hệ số góc của tiếp tuyến ${M_0}T$ với đồ thị (C) của hàm số tại điểm ${M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)$.

Vì hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M là ${k_M} = {\left( {x - 1} \right)^2}$ nên $f’\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}$

Ta có: $f\left( x \right) = \int {f’\left( x \right)dx} = \int {{{\left( {x - 1} \right)}^2}dx} = \int {\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + x + C$

Vì điểm M trùng với gốc tọa độ khi nó nằm trên trục tung nên M(0; 0).

Do đó ta có: $f\left( 0 \right) = 0$ nên $C = 0$. Do đó, $f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + x$.