Bài tập 5.10 trang 40 Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Xét một cối xay lúa trong không gian Oxyz, với đơn vị đo là mét...

Xét một cối xay lúa trong không gian Oxyz, với đơn vị đo là mét. Nếu tác động vào tai cối xay lúa (ở vị trí P) một lực $\overrightarrow F$ thì moment lực $\overrightarrow M$ được tính bởi công thức $\overrightarrow M = \left[ {\overrightarrow {OP} ,\overrightarrow F } \right]$ (H.5.16). Trong quá trình xay, các thanh gỗ AB và PQ luôn có phương nằm ngang. Vectơ lực $\overrightarrow F$ có giá song song với AB. Giải thích vì sao giá của vectơ moment lực $\overrightarrow F$ có phương thẳng đứng?

Sử dụng kiến thức về tích có hướng của hai vectơ để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)$ và $\overrightarrow v = \left( {a’;b’;c’} \right)$. Khi đó, vectơ $\overrightarrow n = \left( {bc’ - b’c;ca’ - c’a;ab’ - a’b} \right)$ vuông góc với hai vectơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$, được gọi là tích có hướng của $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$, kí hiệu là $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$

Vì các thanh gỗ AB và PQ luôn có phương nằm ngang và vectơ lực $\overrightarrow F$ có giá song song với AB nên giá của các vectơ $\overrightarrow {OP} ,\overrightarrow F$ có phương nằm ngang.

Vì moment lực $\overrightarrow M$ được tính bởi công thức $\overrightarrow M = \left[ {\overrightarrow {OP} ,\overrightarrow F } \right]$ nên moment lực $\overrightarrow M$ vuông góc với hai vectơ $\overrightarrow {OP} ,\overrightarrow F$.

Do đó, giá của vectơ moment lực $\overrightarrow F$ có phương thẳng đứng.