Bài tập 5.9 trang 39 Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Trong không gian Oxyz, một ngôi nhà có sàn nhà thuộc mặt phẳng Oxy...

Trong không gian Oxyz, một ngôi nhà có sàn nhà thuộc mặt phẳng Oxy, trần nhà tầng 1 thuộc mặt phẳng $z - 1 = 0$, mái nhà tầng 2 thuộc mặt phẳng $x + y + 50z - 100 = 0$. Hỏi trong ba mặt phẳng tương ứng chứa sàn nhà, trần tầng 1, mái tầng 2, hai mặt phẳng nào song song với nhau?

Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai mặt phẳng song song để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0$, $\left( \beta \right):A’x + B’y + C’z + D’ = 0$ với các vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n’} = \left( {A’;B’;C’} \right)$ tương ứng. Khi đó, $\left( \alpha \right)//\left( \beta \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {n’} = k\overrightarrow n \\D’ \ne kD\end{array} \right.$ với k nào đó.

Mặt phẳng (Oxy) nhận $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến. Điểm O(0;0;0) thuộc mặt phẳng (Oxy) nên phương trình mặt phẳng (Oxy) là: $1.\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow z = 0$

Mặt phẳng $z - 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {0;0;1} \right)$

Vì $\overrightarrow k = \overrightarrow {{n_1}}$ và $0 \ne - 1$ nên mặt phẳng (Oxy) song song với mặt phẳng $z - 1 = 0$.

Do đó, mặt phẳng tương ứng chứa sàn nhà và trần nhà tầng 1 song song với nhau.