Bài tập 5.12 trang 48 Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng $\Delta$ đi qua...

Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng $\Delta$ đi qua $A\left( {2; - 1;4} \right)$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right):x + 3y - z - 1 = 0$.

Sử dụng kiến thức về phương trình tham số của đường thẳng để viết phương trình tham số đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)$. Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.$ được gọi là phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ (t là tham số, $t \in \mathbb{R}$).

Sử dụng kiến thức về phương trình chính tắc của đường thẳng để viết phương trình đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)$ với a, b, c là các số khác 0. Hệ phương trình $\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}$ được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$.

Vì đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right):x + 3y - z - 1 = 0$ nên đường thẳng $\Delta$ nhận $\overrightarrow u \left( {1;3; - 1} \right)$ là một vectơ chỉ phương. Mà đường thẳng $\Delta$ đi qua $A\left( {2; - 1;4} \right)$ nên:

Phương trình tham số của $\Delta$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 1 + 3t\\z = 4 - t\end{array} \right.$

Phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ là: $\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}$.