Bài tập 5.13 trang 48 Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng $\Delta$ đi qua...

Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm $A\left( {2;3; - 1} \right)$ và $B\left( {1; - 2;4} \right)$.

Sử dụng kiến thức về lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm để viết phương trình: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm phân biệt ${A_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right),{A_2}\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)$. Đường thẳng ${A_1}{A_2}$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{A_1}{A_2}} \left( {{x_2} - {x_1};{y_2} - {y_1};{z_2} - {z_1}} \right)$.

Đường thẳng ${A_1}{A_2}$ có phương trình đường thẳng tham số là: $\left\{ \begin{array}{l}x = {x_1} + \left( {{x_2} - {x_1}} \right)t\\y = {y_1} + \left( {{y_2} - {y_1}} \right)t\\z = {z_1} + \left( {{z_2} - {z_1}} \right)t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$

Sử dụng kiến thức về phương trình chính tắc của đường thẳng để tìm vectơ chỉ phương và điểm thuộc đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)$ với a, b, c là các số khác 0. Hệ phương trình $\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}$ được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$.

Đường thẳng AB đi qua điểm $A\left( {2;3; - 1} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AB} \left( { - 1; - 5;5} \right)$. Do đó:

Phương trình tham số của đường thẳng AB là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 3 - 5t\\z = - 1 + 5t\end{array} \right.$.

Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là: $\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 3}}{{ - 5}} = \frac{{z + 1}}{5}$.