Bài tập 5.15 trang 48 Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}...

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z - 2}}{2}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{2}$.

a) Chứng minh rằng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ song song nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$.

Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ lần lượt đi qua các điểm ${A_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right),{A_2}\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)$ và tương ứng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)$. Khi đó:

${\Delta _1}//{\Delta _2} \Leftrightarrow$ $\overrightarrow {{u_1}}$ cùng phương với $\overrightarrow {{u_2}}$ và ${A_1}\not \in {\Delta _2}$.

a) Đường thẳng ${\Delta _1}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} \left( {3;1;2} \right)$ và đi qua điểm $A\left( {1;3;2} \right)$.

Đường thẳng ${\Delta _2}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}} \left( {3;1;2} \right)$.

Vì $\overrightarrow {{u_1}} = \overrightarrow {{u_2}}$ nên hai vectơ $\overrightarrow {{u_1}}$ và $\overrightarrow {{u_2}}$ cùng phương.

Lại có: $\frac{{1 - 1}}{3} \ne \frac{{3 + 1}}{1}$ nên điểm A không thuộc đường thẳng ${\Delta _2}$.

Do đó, ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ song song nhau.

b) Đường thẳng ${\Delta _2}$ đi qua điểm $B\left( {1; - 1;0} \right)$

Ta có: $\overrightarrow {AB} \left( {0; - 4; - 2} \right)$ không cùng phương với $\overrightarrow {{u_1}} \left( {3;1;2} \right)$.

Lại có: $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\{ - 4}&{ - 2}\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&3\\{ - 2}&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&1\\0&{ - 4}\end{array}} \right|} \right) = \left( {6;6; - 12} \right)$

Do đó, mặt phẳng (P) chứa ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ nhận $\frac{1}{6}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {1;1; - 2} \right)$ là một vectơ pháp tuyến. Lại có, điểm $A\left( {1;3;2} \right)$ thuộc mặt phẳng (P) nên phương trình mặt phẳng (P) là: $x - 1 + y - 3 - 2\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 2z = 0$.