Bài tập 5.16 trang 48 Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Trong không gian Oxyz, xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: \({\Delta _1}...

Trong không gian Oxyz, xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: ${\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 1\\z = 3 + 2t\end{array} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2s\\y = 2 + s\\z = 1 + 3s\end{array} \right.$.

Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ lần lượt đi qua các điểm ${A_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right),{A_2}\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)$ và tương ứng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)$. Khi đó:

${\Delta _1}//{\Delta _2} \Leftrightarrow$ $\overrightarrow {{u_1}}$ cùng phương với $\overrightarrow {{u_2}}$ và ${A_1}\not \in {\Delta _2}$

${\Delta _1} \equiv {\Delta _2} \Leftrightarrow$ $\overrightarrow {{u_1}}$ cùng phương với $\overrightarrow {{u_2}}$ và ${A_1} \in {\Delta _2}$

${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo nhau $\Leftrightarrow \overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne 0$

${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ cắt nhau $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0\end{array} \right.$

Đường thẳng ${\Delta _1}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} \left( {1;0;2} \right)$ và đi qua điểm $A\left( { - 1;1;3} \right)$.

Đường thẳng ${\Delta _2}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}} \left( {2;1;3} \right)$ và đi qua điểm $B\left( { - 1;2;1} \right)$.

Vì $\frac{1}{2} \ne \frac{0}{1}$ nên $\overrightarrow {{u_1}}$ không cùng phương với $\overrightarrow {{u_2}}$

Ta có: $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&2\\1&3\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\3&2\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\2&1\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 2;1;1} \right) \ne \overrightarrow 0$, $\overrightarrow {AB} \left( {0;1; - 2} \right)$

Vì $\overrightarrow {AB} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0.\left( { - 2} \right) + 1.1 + \left( { - 2} \right).1 = - 1 \ne 0$ nên ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo nhau.