Bài tập 5.21 trang 53 Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Trong không gian Oxyz, tính góc giữa trục Oz và mặt phẳng \(\left( P \right)...

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa trục Oz và mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y - z - 1 = 0$.

Sử dụng kiến thức về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)$. và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)$. Khi đó: $\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {aA + bB + cC} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$

Trục Oz có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {0;0;1} \right)$, mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {1;2; - 1} \right)$. Ta có: $\sin \left( {Oz,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {0.1 + 0.2 + 1.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}$

Do đó, góc giữa trục Oz và mặt phẳng (P) khoảng $24,{1^o}$.