Bài tập 5.22 trang 53 Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Tính góc giữa đường thẳng $\Delta : \frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z + 2}}{3}$ và...

Tính góc giữa đường thẳng $\Delta :\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z + 2}}{3}$ và mặt phẳng $\left( P \right):x + y + z + 3 = 0$.

Sử dụng kiến thức về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)$. và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)$. Khi đó: $\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {aA + bB + cC} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$

Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( { - 1;2;3} \right)$, mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {1;1;1} \right)$. Ta có: $\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).1 + 2.1 + 3.1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {3^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {42} }}$

Do đó, góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng (P) khoảng $38,{1^o}$.