Bài tập 5.41 trang 62 Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 2 + t\\z =...

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 2 + t\\z = 4 - 2t\end{array} \right.$. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và gốc tọa độ O.

Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow u ,\overrightarrow v$ có thể thực hiện theo các bước sau:

+ Tìm vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$.

+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$.

Nhận thấy điểm O không thuộc đường thẳng d.

Đường thẳng d đi qua điểm $A\left( {1; - 2;4} \right)$ và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {1;1;2} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {OA} = \left( {1; - 2;4} \right)$

$\left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow u } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&4\\1&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&1\\2&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 2}\\1&1\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 8;2;3} \right)$

Mặt phẳng (P) đi qua điểm $O\left( {0;0;0} \right)$ và nhận $\left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow u } \right] = \left( { - 8;2;3} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng (P) là: $- 8x + 2y + 3z = 0$