Bài tập 5.45 trang 63 Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d...

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d: $\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{{ - 1}}$ và $d’:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{2}$. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d’.

Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương để viết phương trình: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow u ,\overrightarrow v$ có thể thực hiện theo các bước sau:

+ Tìm vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$.

+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$.

Đường thẳng d nhận $\overrightarrow {{u_1}} \left( {1;2; - 1} \right)$ làm một vectơ chỉ phương và đi qua điểm $A\left( { - 1;1;0} \right)$.

Đường thẳng d’ nhận $\overrightarrow {{u_2}} \left( {1;1;2} \right)$ làm một vectơ chỉ phương.

Ta có: $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\1&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\2&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\1&1\end{array}} \right|} \right) = \left( {5; - 3; - 1} \right)$

Vì mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d’ nên mặt phẳng (P) nhận $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {5; - 3; - 1} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Mà điểm $A\left( { - 1;1;0} \right)$ thuộc mặt phẳng (P) nên phương trình mặt phẳng (P) là:

$5\left( {x + 1} \right) - 3\left( {y - 1} \right) - z = 0 \Leftrightarrow 5x - 3y - z + 8 = 0$