Bài tập 5.44 trang 62 Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P)...

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): $x - 2y - 2z - 3 = 0$ và đường thẳng d: $\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}$. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với mặt phẳng (P).

Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương để viết phương trình: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow u ,\overrightarrow v$ có thể thực hiện theo các bước sau:

+ Tìm vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$.

+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$.

Đường thẳng d nhận $\overrightarrow {{u_1}} \left( {2;1; - 1} \right)$ làm một vectơ chỉ phương và đi qua điểm $A\left( {1; - 1;0} \right)$.

Mặt phẳng (P) nhận $\overrightarrow n \left( {1; - 2; - 2} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến.

$\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow n } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 1}\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&2\\{ - 2}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\1&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 4;3; - 5} \right)$

Vì mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với mặt phẳng (P) nên mặt phẳng (Q) nhận $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow n } \right] = \left( { - 4;3; - 5} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến. Mà điểm $A\left( {1; - 1;0} \right)$ thuộc mặt phẳng (Q) nên phương trình mặt phẳng (Q) là: $- 4\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y + 1} \right) - 5z = 0 \Leftrightarrow - 4x + 3y - 5z + 7 = 0$