Bài tập 5.7 trang 39 Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( P \right): x + 3y - z = 0, \left( Q \right)...

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left( P \right):x + 3y - z = 0,\left( Q \right):x - y - 2z + 1 = 0$.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.

b) Tìm điểm M thuộc trục Ox và cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q).

Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0$, $\left( \beta \right):A’x + B’y + C’z + D’ = 0$ với hai vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n’} = \left( {A’;B’;C’} \right)$ tương ứng. Khi đó, $\left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right) \Leftrightarrow \overrightarrow n \bot \overrightarrow {n’} \Leftrightarrow AA’ + BB’ + CC’ = 0$.

Sử dụng kiến thức về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right):Ax + By + Cz + D = 0$ là $d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$.

a) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;3; - 1} \right)$, mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - 1; - 2} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} = 1.1 + \left( { - 1} \right).3 + \left( { - 1} \right).\left( { - 2} \right) = 0$ nên $\overrightarrow {{n_P}} \bot \overrightarrow {{n_Q}}$. Do đó, hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.

b) Điểm M thuộc trục Ox nên $M\left( {x;0;0} \right)$.

Vì M cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q) nên $d\left( {M,\left( P \right)} \right) = d\left( {M,\left( Q \right)} \right)$

$\Rightarrow \frac{{\left| x \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| {x + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}$

$\Rightarrow \frac{{\left| x \right|}}{{\sqrt {11} }} = \frac{{\left| {x + 1} \right|}}{{\sqrt 6 }} \Rightarrow 6{x^2} = 11{\left( {x + 1} \right)^2} \Rightarrow 5{x^2} + 22x + 11 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 11 - \sqrt {66} }}{5}\\x = \frac{{ - 11 + \sqrt {66} }}{5}\end{array} \right.$

Vậy $M\left( {\frac{{ - 11 + \sqrt {66} }}{5};0;0} \right);M\left( {\frac{{ - 11 - \sqrt {66} }}{5};0;0} \right)$ thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.