Bài tập 5.6 trang 39 Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( P \right): x + y + z + 2 = 0...

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left( P \right):x + y + z + 2 = 0,\left( Q \right):x + y + z + 6 = 0$. Chứng minh rằng hai mặt phẳng đã cho song song với nhau và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.

Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai mặt phẳng song song để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0$, $\left( \beta \right):A’x + B’y + C’z + D’ = 0$ với các vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n’} = \left( {A’;B’;C’} \right)$ tương ứng. Khi đó, $\left( \alpha \right)//\left( \beta \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {n’} = k\overrightarrow n \\D’ \ne kD\end{array} \right.$ với k nào đó.

Sử dụng kiến thức về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right):Ax + By + Cz + D = 0$ là $d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$.

a) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1;1} \right)$, mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;1;1} \right)$. Vì $\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{n_Q}}$ và $2 \ne 6$ nên (P) và (Q) song song với nhau.

b) Lấy điểm A(0; 0; -2) thuộc mặt phẳng (P). Ta có: $d\left( {A,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {0 + 0 - 2 + 6} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}$

Vì (P) và (Q) song song với nhau nên $d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {A,\left( Q \right)} \right) = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}$.