Câu hỏi/bài tập:
(H.5.30) Trong không gian Oxyz, có hai vật thể lần lượt xuất phát từ A(1; 2; 0) và B(3; 5; 0) với vận tốc không đổi tương ứng là \(\overrightarrow {{v_1}} = \left( {2;1;3} \right),\overrightarrow {{v_2}} = \left( {1;2;1} \right)\). Hỏi trong quá trình chuyển động, hai vật thể trên có va chạm vào nhau hay không?
Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để giải: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) lần lượt đi qua các điểm \({A_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right),{A_2}\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\) và tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). Khi đó:
\({\Delta _1}//{\Delta _2} \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \) và \({A_1}\not \in {\Delta _2}\).
\({\Delta _1} \equiv {\Delta _2} \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \) và \({A_1} \in {\Delta _2}\).
\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau \( \Leftrightarrow \overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne 0\).
Advertisements (Quảng cáo)
\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0\end{array} \right.\) .
Gọi d là đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{v_1}} =\left( {2;1;3} \right)\).
Gọi d’ là đường thẳng đi qua B và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{v_2}} =\left( {1;2;1} \right)\).
Vì \(\frac{2}{1} \ne \frac{1}{2}\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {{v_1}} \) và \(\overrightarrow {{v_2}} \) không cùng phương.
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{v_1}} ;\overrightarrow {{v_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\2&1\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&2\\1&1\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\1&2\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 5;1;3} \right) \ne \overrightarrow 0 \), \(\overrightarrow {AB} \left( {2;3;0} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {AB} .\left[ {\overrightarrow {{v_1}} ;\overrightarrow {{v_2}} } \right] = \left( { - 5} \right).2 + 1.3 + 3.0 = - 7 \ne 0\) nên d và d’ chéo nhau.
Do đó, hai vật trên không va chạm vào nhau.