Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: \({\Delta _1}: \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + t\\z = 1 - t\end{array} \right...

Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: ${\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + t\\z = 1 - t\end{array} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = s\\y = 1 + 2s\\z = 3s\end{array} \right.$.

Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để tìm vị trí tương đối của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ tương ứng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)$ và có phương trình tham số: ${\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_1} + {a_1}t\\y = {y_1} + {b_1}t\\z = {z_1} + {c_1}t\end{array} \right.$ ${\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_2} + {a_2}s\\y = {y_2} + {b_2}s\\z = {z_2} + {c_2}s\end{array} \right.$. Xét hệ phương trình hai ẩn t, s: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {a_1}t = {x_2} + {a_2}s\\{y_1} + {b_1}t = {y_2} + {b_2}s\\{z_1} + {c_1}t = {z_2} + {c_2}s\end{array} \right.\left( * \right)$

${\Delta _1}//{\Delta _2} \Leftrightarrow$ $\overrightarrow {{u_1}}$ cùng phương với $\overrightarrow {{u_2}}$ và hệ (*) vô nghiệm.

${\Delta _1} \equiv {\Delta _2} \Leftrightarrow$ Hệ (*) có vô số nghiệm.

${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo nhau $\Leftrightarrow$$\overrightarrow {{u_1}}$ và $\overrightarrow {{u_2}}$ không cùng phương và hệ (*) vô nghiệm.

${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ cắt nhau $\Leftrightarrow$ Hệ (*) có nghiệm duy nhất

${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;1; - 1} \right)$ và $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;2;3} \right)$

Vì $\frac{2}{1} \ne \frac{1}{2}$ nên $\overrightarrow {{u_1}}$ và $\overrightarrow {{u_2}}$ không cùng phương. Do đó, ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ cắt nhau hoặc chéo nhau.

Xét hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}1 + 2t = s\\3 + t = 1 + 2s\\1 - t = 3s\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}s - 2t = 1\;\left( 1 \right)\\2s - t = 2\;\left( 2 \right)\\3s + t = 1\;\left( 3 \right)\end{array} \right.$

Từ (1) và (2) ta có: $s = 1;t = 0$, thay vào (3) ta thấy không thỏa mãn phương trình.

Do đó, hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo nhau.