Hỏi \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) có song song với nhau hay không?...

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: \(\left( \alpha \right):5x + 2y - 4z + 6 = 0\) và \(\left( \beta \right):10x + 4y - 2z + 12 = 0\)

a) Hỏi \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) có song song với nhau hay không?

b) Chứng minh rằng điểm \(M\left( {1; - 3;5} \right)\) không thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nhưng thuộc mặt phẳng \(\left( \beta \right)\).

c) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua \(M\left( {1; - 3;5} \right)\) và song song với \(\left( \alpha \right)\).

Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0\), \(\left( \beta \right):A’x + B’y + C’z + D’ = 0\) với các vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n’} = \left( {A’;B’;C’} \right)\) tương ứng. Khi đó, \(\left( \alpha \right)//\left( \beta \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {n’} = k\overrightarrow n \\D’ \ne kD\end{array} \right.\) với k nào đó.

Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai mặt phẳng song song để tính: Nếu hai mặt phẳng song song với nhau thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng kia.

a) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {5;2; - 4} \right)\), mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {10;4; - 2} \right)\).

Vì \(\frac{5}{{10}} = \frac{4}{2} \ne \frac{{ - 4}}{2}\) nên \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \) và \(\overrightarrow {{n_\beta }} \) không cùng phương. Do đó, hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) không song song với nhau.

b) Vì \(5.1 - 3.2 - 4.5 + 6 = 5 - 6 - 20 + 6 = - 15 \ne 0\) nên điểm \(M\left( {1; - 3;5} \right)\) không thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).

Vì \(10.1 + 4.\left( { - 3} \right) - 2.5 + 12 = 0\) nên điểm \(M\left( {1; - 3;5} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( \beta \right)\).

c) Vì mặt phẳng (P) song song với \(\left( \alpha \right)\) nên mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {5;2; - 4} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến. Mà điểm \(M\left( {1; - 3;5} \right)\) thuộc (P) nên phương trình mặt phẳng (P) là:

\(5\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y + 3} \right) - 4\left( {z - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow 5x + 2y - 4z + 21 = 0\)